Obrnuta Pitagorina teorema

Egipatski trougao

Egipatski graditelji su pomoću kanapa konstruisali prav ugao na sledeći način:

Kanap podele čvorovima na 12 jednakih delova, a zatim, savijanjem kanapa kao što je prikazano na datoj slici, dobijali su pravougli trougao. Ovakav trougao su koristili za označavanje pravih uglova pri zidanju pravougaonih građevina.

Trougao sa stranicama 3, 4 i 5 naziva se Egipatski trougao.

Ovde vidimo da su stari Egipćani na osnovu dužina stranica trougla zaključivali da li je on pravougli ili ne. U stvari, koristili su obrnutu Pitagorinu teoremu.

Obrnuta Pitagorina teorema

Ako za stranice a, b i c trougla važi da je a² + b² = c², onda je taj trougao pravougli, sa pravim uglom naspram stranice c.

Dokaz obrnute Pitagorine teoreme

Dokaz koji sledi je opisao Euklid u III veku pre nove ere.

Neka je ABC trougao čije stranice zadovoljavaju uslov da je a² + b²= c² (na datoj slici desni trougao). Konstriućimo tačku D, koja nije sa iste strane duži BC kao tačka A, takvu da je: ∡BCD = 90° i CD = b.

Otključaj Premium

Čitaj celu lekciju
Rešavaj 10x više zadataka
Osvoj 2x više bodova i energija ti se puni duplo brže

Za 855 RSD postani Premium!

Postani Premium

Pošto je trougao BCD pravougli, za njega važi Pitagorina teorema, pa je:

x²= a² + b². Kako je i c² = a² + b² sledi da je x = c.

To sada znači da su trouglovi BCD i ABC podudarni (na osnovu stava SSS), pa je i ≮ACB = 90°, odnosno trougao ABC je pravougli.

Lako!

Bravo!

Pogledaj odgovor u lekciji.

Da li je pravougli trougao čije stranice imaju dužine , i ?

Bravo!

Osvojeno je

+

+

Bravo!

Odgovor je tačan i osvojeno je 10 Bodovi
Prijavi se i sačuvaj svoje bodove.

Prijavi se

Rešenje:

Odgovor je da, jer je:

(

)² + (

)² = 2 + 3 = 5 i (

)² = 5

pa dužine stranica zadovoljavaju uslov obrnute Pitagorine teoreme, što znači da je trougao pravougli.

Obrnuta Pitagorina teorema nam omogućava da na osnovu datih dužina stranica trougla, odredimo kojoj vrsti trouglova on pripada (oštrougli, pravougli ili tupougli).

Neka je c stranica koja ima najveću dužinu.

Ako je c² < a² + b², onda je naspram stranice c oštar ugao.

Ako je c² = a² + b², onda je naspram stranice c prav ugao.

Ako je c² > a² + b², onda je naspram stranice c tup ugao.

Lako!

Bravo!

Pogledaj odgovor u lekciji.

Kojoj vrsti trougla pripada onaj čije stranice imaju dužine 7, 12 i 14?

Bravo!

Osvojeno je

+

Bravo!

Odgovor je tačan i osvojeno je 10 Bodovi
Prijavi se i sačuvaj svoje bodove.

Prijavi se

Rešenje:

a = 7, b = 12, c = 14

a² + b² = 7² + 12² = 49 + 144 = 193

c² = 14² = 196

važi c² > a² + b²

Pitagorine trojke brojeva

Ako su dužine stranica pravouglog trougla izražene celim brojevima, ond ti brojevi čine Pitagorine trojke brojeva.

Takvi su recimo brojevi (3, 4, 5) ili (7, 24, 25).

Podsetimo se:

Uređeni par a, b zapisujemo (a, b);

Uređenu trojku a, b, c zapisujemo (a, b, c).

Zanimljivo je da ukoliko sve brojeve Pitagorine trojke pomnožimo istim prirodnim brojem, dobićemo novu Pitagorinu trojku.

Na primer ako Pitagorinu trojku (3, 4, 5) množimo sa 6, dobijamo Pitagorinu trojku (18, 24, 30).

Lako!

Bravo!

Pogledaj odgovor u lekciji.

Koji broj sa brojevima 12 i 13 čini Pitagorinu trojku?

Bravo!

Osvojeno je

+

Bravo!

Odgovor je tačan i osvojeno je 10 Bodovi
Prijavi se i sačuvaj svoje bodove.

Prijavi se

Rešenje:

12² = 144

13² = 169

144 + 169 = 313; nije kvadrat prirodnog broja.

169 – 144 = 25, a 25 = 5²

Zadaci za vežbanje

1) Da li je pravougli trougao sa datim dužinama stranica a) 7, 15, 17 ili b) , 2, ?

Rešenje prvog pitanja:

a) 7² + 15² = 49 + 225 = 274

17² = 289, pa ovaj trougao nije pravougli.

b) ² + 2² = + 4 =

² =

, ovaj trougao jeste pravougli.

2) Odredi kojoj vrsti pripada trougao čije su stranice dužina: a) 7, 9, 12 i b) 5, 7, ?

Rešenje drugog zadatka:

a) 7² + 9² = 49 + 81 = 130

12² = 144 pa je c² > a² + b²; trougao je tupougli.

b) 5² + ()² = 25 + 24 = 49

7² = 49; trougao je pravougli.

3) Stranice trougla ABC su a = 24 cm, b = 7 cm i c =25 cm, a trougla MNP m = 16 cm, n = 12 cm i p = 22 cm. Koji je ugao veći: ≮ACB ili ≮MPN?

Rešenje trećeg zadatka:

a² + b² = 24² + 7² = 576 + 49 = 625c² = 25² = 625, pa je trougao ABC pravougli.

m² + n² = 16² + 12² = 256 + 144 = 400p² = 22² = 484, trougao MNP je tupougli.

∡MPN > ∡ACB

4) Na osnovu podataka sa slike odredi dužinu duži x. Kojoj vrsti trouglova pripada trougao ACD?

Rešenje četvrtog zadatka:

AB = 16 cm, BC = 9 cm, CD = 15 cm, BD = 12 cm, AC = 25 cm.

Primenimo obrnutu Pitagorinu teoremu na trougao BCD.

12² + 9² = 144 + 81 = 22515² = 225, pa je ovaj trougao pravougli sa pravim uglom kod temena B.

To dalje znači da je i trougao ABD pravougli (sa pravim uglom kod temena B), pa možemo primeniti Pitagorinu teoremu.

x² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400

x =

x = 20 cm

Na kraju primenjujemo obrnutu Pitagorinu teoremu na trougao ABC.

15² + 20² = 225 + 400 = 625

25²= 625, pa je trougao ABC pravougli.

5) Date su stranice AC = i BC = . Koje celobrojne vrednosti može imati stranica AB da bi ugao kod temena C bio tup?

Rešenje petog zadatka:

Da bi ugao kod temena C bio tup, treba da važi AB² > AC² + BC².

AC² + BC² = 28 + 63 = 91

Dužina duži AB mora da zadovoljava uslov AB² > 91.

Najmanji ceo broj čiji je kvadrat veći od 91 je broj 10. Dakle AB ≥ 10.

S druge strane, mora da bude ispunjena nejednakost trougla, odnosno da bude AB < AC + BC.

AB < + ≈ 5,3 + 7,9 = 13,2

AB ∈ {10, 11, 12, 13}.

Naučili smo

• Trougao sa stranicama 3, 4 i 5 naziva se Egipatski trougao.

• Ako za stranice a, b i c trougla važi da je a² + b² = c², onda je taj trougao pravougli, sa pravim uglom naspram stranice c.

• Dokaz obrnute Pitagorine teoreme je opisao Euklid u III veku pre nove ere.

• Obrnuta Pitagorina teorema nam omogućava da na osnovu datih dužina stranica trougla, odredimo kojoj vrsti trouglova on pripada (oštrougli, pravougli ili tupougli).

• Ako je c² < a²+ b², onda je naspram stranice c oštar ugao.

• Ako je c² = a² + b², onda je naspram stranice c prav ugao.

• Ako je c² > a² + b², onda je naspram stranice c tup ugao.

• Ako su dužine stranica pravouglog trougla izražene celim brojevima, onda ti brojevi čine Pitagorine trojke brojeva.

Premium status ti omogućava:

Dodatan sadržaj

Novosti

Najnoviji članci Pogledaj sve

Dodatni sadržaj

Shop

Obrnuta Pitagorina teorema

Obrnuta Pitagorina teorema

Egipatski trougao

Obrnuta Pitagorina teorema

Dokaz obrnute Pitagorine teoreme

Bravo!

Osvojeno je

+

+

Bravo!

Osvojeno je

+

+

Pitagorine trojke brojeva

Bravo!

Osvojeno je

+

+

Zadaci za vežbanje

Naučili smo