Produžena proporcija

Podsetimo se

Razmera dva pozitivna broja a i b predstavlja njihov količnik.

a : b odnosno

Neka je a = i b = .

Tada je njihova razmera (odnos): a : b =

Jednakost a : b = 3 : 2 je prosta proporcija.

Iz prethodne jednakosti takođe proizilazi i jednakost:

Broj k zovemo koeficijent proporcionalnosti.

Iz poslednje jednakosti brojeve a i b možemo izraziti preko koeficijenta proporcionalnosti: a = 3k i b = 2k.

Lako!

Bravo!

Pogledaj odgovor u lekciji.

U prazno polje prevuci tačan odgovor tako da tvrdnja bude tačna.

Razmera dva pozitivna broja a i b predstavlja njihov .

zbir

količnik

proizvod

Bravo!

Osvojeno je

+

+

Bravo!

Odgovor je tačan i osvojeno je 10 Bodovi
Prijavi se i sačuvaj svoje bodove.

Prijavi se

Zadatak

Ako je a : b = 3 : 4 i koeficijent proporcionalnosti k = 5, brojevi a i b su:

a) a = 3, b = 4 b) a = 15, b = 10 c) a = 15, b = 20 d) a = 20, b = 15

Rešenje

Tačan odgovor je pod c) jer je a = 3k, a = 15 i b = 4k, b = 20.

Otključaj Premium

Čitaj celu lekciju
Rešavaj 10x više zadataka
Osvoj 2x više bodova i energija ti se puni duplo brže

Za 1200 RSD postani Premium!

Postani Premium

Produžena proporcija

Videli smo da prostu proporciju čine dve veličine koje su u određenoj razmeri. Naravno, može postojati i više od 2 veličine koje čine određenu razmeru (proporciju).

Neka su na primer brojevi a, b i c takvi da je polovina prvog jednaka trećini drugog i jednaka četvrtini trećeg. To možemo zapisati u obliku dvostruke jednakosti:

To je, u stvari, jednakost tri razmere i nju nazivamo produžena proporcija.

Odgovarajući zapis u obliku produžene proporcije glasi a : b : c = 2 : 3 : 4.

Produžena proporcija se može formirati i od većeg broja jednakih razmera.

Primer

Uprosti razmeru brojeva (zapiši u obliku produžene proporcije):

Rešenje

Da bismo odredili razmeru, prvo mešovite brojeve pretvaramo u neprave razlomke.

a : b : c =

= 16 : 25 : 6

Zadatak

Data je produžena proporcija x : y : 2 = 9 : 7 : 5. Koliko su x i y?

a) x = 9, y = 7 b) x = 18, y = 14 c) x = , y = d) x = 10, y = 18

Rešenje

Odgovor je c) jer ako iz produžene proporcije prvo izdvojimo prostu, izračunavamo nepoznate vrednosti jednu po jednu:

x : 2 = 9 : 5

5x = 18

x =

y : 2 = 7 : 5

5y = 14

y =

Produžena proporcija je jednakost više razmera:

Iz a : b : c = x : y : z sledi da postoji broj k, k > 0, takav da je a = kx, b = ky, c = kz. Broj k se zove koeficijent proporcionalnosti.

Lako!

1/2

Bravo!

1/2

Pogledaj odgovor u lekciji.

Šta je produžena proporcija?

Bravo!

Osvojeno je

+

Bravo!

Odgovor je tačan i osvojeno je 10 Bodovi
Prijavi se i sačuvaj svoje bodove.

Prijavi se

Lako!

2/2

Bravo!

2/2

Pogledaj odgovor u lekciji.

Označi slovo koje je koeficijent proporcionalnosti.

Bravo!

Osvojeno je

+

Bravo!

Odgovor je tačan i osvojeno je 10 Bodovi
Prijavi se i sačuvaj svoje bodove.

Prijavi se

Zadatak

Iz datih proporcija izračunaj x.

x : y = 2 : 6; y : z = 2 : 3; z : 2 = 18 : 4

Rešenje

Iz poslednje proporcije direktno možemo izračunati vrednost z (proizvod spoljašnjih članova jednak je proizvodu unutrašnjih):

4z = 36

z = 9

Sada ovu vrednost z zamenjujemo u drugu proporciju i računamo y:

y : 9 = 2 : 3

3y = 18

y = 6

I na kraju y zamenjujemo u prvoj proporciji:

x : 6 = 2 : 6

x = 2

Zadatak

Četiri druga radili su preko omladinske zadruge redom 7, 5, 9 i 4 dana tokom jednog meseca i zaradili su ukupno 45000 dinara. Koliko je svaki od njih dobio srazmerno broju radnih dana?

Rešenje

Označimo zarade dečaka redom sa a, b, c i d.

Tada važi proporcija: a : b : c : d = 7 : 5 : 9 : 4

Ako je k koeficijent proporcionalnosti, onda je:

a = 7k, b = 5k, c = 9k i d = 4k

Kako je a + b + c + d = 45000, imaćemo:

7k + 5k + 9k + 4k = 45000

25k = 45000

k = 1800

a = 7k = 12600

b = 5k = 9000

c = 9k = 16200

d = 4k = 7200

Zadatak

Dužine stranica trougla ABC određuju razmeru 11 : 7 : 12. Kolike su njihove dužine ako je obim trougla 75cm? Kojoj vrsti uglova pripada ugao α?

Rešenje

a : b : c : 11 : 7 : 12

a = 11k

b = 7k

c = 12 k

11k + 7k + 12 k = 75cm

30k = 75cm

k = 75cm : 30

k = 2,5cm

a = 2,5cm · 11 = 27,5cm

b = 2,5cm · 7 = 17,5cm

c = 2,5cm · 12 = 30cm

Znamo da je u trouglu naspram većeg ugla duža stranica i obrnuto. Kako je b < a < c, to je β < α < γ.

Ugao α mora biti oštar, jer nije najveći.

Zadatak

Napravi produženu proporciju iz uslova: a : b = 5 : 6 i b : c = 12 : 7.

Rešenje

Nepoznatoj b u prvoj proporciji odgovara 6, a u drugoj 12.

Kada pravimo produženu proporciju, ovi brojevi moraju biti jednaki, što znači da prvu proporciju moramo prvo proširiti sa 2.

To nam daje:

a : b = 10 : 12 i b : c = 12 : 7, pa je odgovarajuća produžena proporcija:

a : b : c = 10 : 12 : 7

Zadatak

Dužine stranica trapeza ABCD određuju produženu proporciju AB : BC : CD : DA = 12 : 7 : 4 : 5. Veća osnovica duža je od kraće osnovice za 24 cm.

Izračunaj obim trapeza.

Rešenje

Iz date proporcije slede jednakosti:

AB = 12k

BC = 7k

CD = 4k

DA = 5k

Duža osnovica je AB, a kraća CD.

AB = CD + 24 cm

12k = 4k + 24 cm

8k = 24 cm

k = 3 cm

Sada je:

AB = 12 · 3 cm = 36 cm

BC = 7 · 3 cm = 21 cm

CD = 4 · 3 cm = 12 cm

DA = 5 · 3 cm = 15 cm

O = 36cm + 21cm + 12cm + 15cm = 84cm

Zadatak

Odredi unutrašnje uglove trougla ABC, ako za spoljašnje uglove važi:

α1 : β1 : γ1 = 5 : 3 : 7

Rešenje

Za ovaj zadatak je potrebno da znamo:

Zbir spoljašnjih uglova trougla je 360°
Zbir unutrašnjeg i odgovarajućeg spoljašnjeg ugla trougla je 180°.

(Drugim rečima – odgovarajući unutrašnji i spoljašnji ugao trougla su suplementni.)

α1 = 5k

β1 = 3k

γ1 = 7k

α1 + β1 + γ1 = 360°

5k + 3k + 7k = 360°

15k = 360°

k = 360° : 15

k = 24°

Sada je:

α1 = 5k = 5 · 24° = 120°

β1 = 3k = 3 · 24° = 72°

γ1 = 7k = 7 · 24° = 168°

α = 180° – 120° = 60°

β = 180° – 72° = 108°

γ = 180° – 168° = 12°

Naučili smo

je, u stvari, jednakost tri razmere i nju nazivamo produžena proporcija.
Odgovarajući zapis u obliku produžene proporcije glasi a : b : c = 2 : 3 : 4.
Produžena proporcija se može formirati i od većeg broja jednakih razmera.
Produžena proporcija je jednakost više razmera: ili a : b : c : ... : d = x : y : z : ... : t.
Iz a : b : c = x : y : z sledi da postoji broj k, k > 0, takav da je a = kx, b = ky, c = kz. Broj k se zove koeficijent proporcionalnosti.