Proširivanje i skraćivanje razlomaka. Jednaki razlomci

Uvod

Zamisli da imaš poređane četiri pice koje su isečene na delove tj. prva je podeljena na polovine, druga na četvrtine ,treća na šestine i četvrta na osmine. Sve pice su iste veličine.

Pice su bile pripremljene za rođendan. Gosti su jeli picu na osnovu isečenih delova i to:

Maja je pojela

,
Marko

,
Jovana

i Andrija

Šta zaključuješ na osnovu slike? Da li su svi gosti pojeli isto pice?

Na slici obojeni delovi su jednaki među sobom, samo su zapisani drugačije. Odnosno, svi gosti su pojeli istu količinu pice. Stoga važi jednakost .

Dalje, uočavamo neke zanimljivosti:

Proširivanje razlomaka

Ako se brojilac i imenilac razlomka pomnože istim prirodnim brojem većim od 1, dobija se razlomak jednak prvobitnom. Ovim smo opisali tzv. proširivanje razlomaka.

Dakle, proširivanjem (kao sa slike ⋅2, ⋅3, ⋅4) dobijamo jednake razlomke.

PRIMER 1

Proširi razlomak brojem 2.

Odgovor:

Razlomak proširujemo tako što brojilac i imenilac množimo sa datim brojem 2.

Otključaj Premium

Čitaj celu lekciju
Rešavaj 10x više zadataka
Osvoj 2x više bodova i energija ti se puni duplo brže

Za 1200 RSD postani Premium!

Postani Premium

Lako!

1/2

Bravo!

1/2

Pogledaj odgovor u lekciji.

Šta ćemo dobiti ako dati razlomak proširimo sa 2?

Bravo!

Osvojeno je

+

+

Bravo!

Odgovor je tačan i osvojeno je 10 Bodovi
Prijavi se i sačuvaj svoje bodove.

Prijavi se

Lako!

2/2

Bravo!

2/2

Pogledaj odgovor u lekciji.

Kojim brojem treba proširiti razlomak tako da brojilac bude 20?

Bravo!

Osvojeno je

+

Bravo!

Odgovor je tačan i osvojeno je 10 Bodovi
Prijavi se i sačuvaj svoje bodove.

Prijavi se

Skraćivanje razlomaka

S obzirom da smo videli kako funkcioniše proširivanje razlomaka, postavlja se pitanje da li se razlomci mogu skratiti? Mogu, naravno!

Ukoliko smo za proširivanje razlomaka koristili operaciju množenja, koju bismo operaciju koristili za skraćivanje razlomaka? Koristili bismo operaciju deljenja.

Posmatrajmo sledeći primer.

PRIMER 2

Za vreme školskog odmora troje učenika je umesto užine kupilo čokoladu. Jedan učenik je pojeo kupljene čokolade, drugi učenik je pojeo , a treći je pojeo . Da li su svi pojeli isto čokolade?

Odgovor:

Uoči ilustraciju ovog primera desno.

Vidimo da su pojedini delovi jednaki tj. . Na koji način to još možemo zaključiti.

Primetimo sledeće:

Na osnovu zapisanog, u sledećem delu uvodimo novo pravilo.

Ako je n zajednički delilac prirodnih brojeva 𝑎 i b, onda .

Razlomak se može skratiti samo brojem koji je zajednički delilac brojeva 𝑎 i b. Najveći zajednički delilac brojeva 𝑎 i b najveći je broj kojim se razlomak može skratiti.

Kada se izvrše sva moguća skraćivanja, dobije se razlomak kome su brojilac i imenilac uzajamno prosti brojevi. Taj oblik razlomka je jako važan, pa ističemo sledeće:

Ako je , tj. ako su 𝑎 i b uzajamno prosti brojevi, razlomak je neskrativ.

Neskrativ oblik nazivamo najjednostavnijim oblikom razlomka.

PRIMER 1

Skrati razlomak .

Odgovor:

PRIMER 2

Skrati razlomak .

Odgovor:

Lako!

1/2

Bravo!

1/2

Pogledaj odgovor u lekciji.

Šta ćemo dobiti ako dati razlomak skratimo sa 3?

Bravo!

Osvojeno je

+

Bravo!

Odgovor je tačan i osvojeno je 10 Bodovi
Prijavi se i sačuvaj svoje bodove.

Prijavi se

Srednje!

2/2

Bravo!

2/2

Pogledaj odgovor u lekciji.

Označi razlomke koji su neskrativi.

Bravo!

Osvojeno je

+

Bravo!

Odgovor je tačan i osvojeno je 10 Bodovi
Prijavi se i sačuvaj svoje bodove.

Prijavi se

Jednakost razlomaka

Na početku lekcije smo na najjednostavniji način tj na osnovu slika zaključili da su neki razlomci jednaki. Zatim smo zaključili da možemo i skraćivanjem odrediti da li su neki razlomci jednaki.

Da li se može bez skraćivanja ili slika utvrditi jednakost?

Neka su razlomci . Proširimo prvi sa d, a drugi sa b. Dobićemo .

Ova dva jednaka razlomka imaju jednake imenioce, pa su im jednaki i brojioci: .

Na osnovu zapisanog, u sledećem delu uvodimo novo pravilo.

Ako je , onda je , i obrnuto, ako je onda je .

Jednakost nazivamo: uslov jednakosti dva razlomka.

Uslov jednakosti se može na interesantan način prikazati. Dva razlomka se mogu množiti unakrsno, kao što vidiš na slici desno. Strelice nam pokazuju da .

PRIMER 1

Uveri se da li su jednaki razlomci: .

Odgovor:

Primenićemo pravilo tj. množićemo unakrsno.

Gledajući slikuzaključujemo da su razlomci jednaki.

Naučili smo

Razlomke možemo proširivati i skraćivati!
Proširivanjem dobijamo jednake razlomke.
Za proširivanje razlomaka koristimo operaciju množenja, a za skraćivanje korstimo operaciju deljenja.
Razlomak se može skratiti samo brojem koji je zajednički delilac brojeva 𝑎 i b.
Ako su 𝑎 i b uzajamno prosti brojevi, razlomak je neskrativ.
Možemo utvrditi jednakost razlomaka bez skraćivanja.
Jednakost nazivamo: uslov jednakosti dva razlomka.