Stavovi sličnosti trouglova

Shtreberove lekcije proizvod su puno rada i istraživanja. Podržite nas kupovinom Premium naloga i omogućite vašem detetu da uči na najbolji način. Hvala!

Kupi sada

U ovoj lekciji navešćemo potrebne i dovoljne uslove da bi dva trougla bila slična.

Prvi stav sličnosti: Dva trougla su slična ako su dva unutrašnja ugla jednog trougla jednaka s dva odgovarajuća ugla drugog trougla.

Primer 1

Da li su slični trouglovi ABC i A₁B₁C₁ ako je γ = γ₁ = 90°, α = 32°15', β₁= 57°45'?

a) trouglovi su slični

b) trouglovi nisu slični

c) nema dovoljno podataka

Izračunajmo ugao β.

β = 180° - (α + γ) = 180° - 122°15' = 57°45' = β₁

Trouglovi su slični na osnovu prvog stava jer je γ = γ₁ i β = β₁.

Dva trougla sa slike imaju proporcionalna dva para stranica c : c₁ = b : b₁ i jednake uglove zahvaćene ovim stranicama α = α₁.

Otključaj Premium

Čitaj celu lekciju
Rešavaj 10x više zadataka
Osvoj 2x više bodova i energija ti se puni duplo brže

Za 1200 RSD postani Premium!

Postani Premium

Drugi stav sličnosti: Dva trougla su slična ako su dve stranice jednog proporcionalne s dve odgovarajuće stranice drugog trougla i uglovi zahvaćeni ovim stranicama jednaki su među sobom.

Tvrđenje: U svakom trouglu visine su obrnuto proporcionalne odgovarajućim stranicama: a : b = hb : ha.

Srednje!

Bravo!

Pogledaj odgovor u lekciji.

Da li su slični trouglovi sa slike?

Bravo!

Osvojeno je

+

+

Bravo!

Odgovor je tačan i osvojeno je 10 Bodovi
Prijavi se i sačuvaj svoje bodove.

Prijavi se

Treći stav sličnosti: Dva trougla su slična ako su sve stranice jednog proporcionalne odgovarajućim stranicama drugog trougla.

Drugim rečima, trouglovi ABC i A₁B₁C₁ su slični ako je a : b : c = a₁ : b₁ : c₁ odnosno ako je = = = k.

Broj k zovemo koeficijent sličnosti trouglova.

Primer 3

Stranice trougla ABC su a = 12 cm, b = 18 cm, c = 9 cm. Da li mu je sličan trougao čije su stranice 5 cm, 6 cm i 9 cm?

Rešenje

Prvo moramo imenovati stranice drugog trougla u odnosu na veličinu. Najkraća je c, pa je c₁ = 5 cm, zatim a₁ = 6 cm i b₁ = 9 cm.

= 2,

2

Ovi trouglovi nisu slični.

Sličnost figura definišemo pomoću koeficijenta sličnosti.

Dve figure F1 i F2 su slične ako postoji pozitivan broj k takav da za bilo koje dve tačke A i B figure F i odgovarajuće tačke A1 i B1 figure F1 važi jednakost:

AB = k · A1B1

Površine sličnih trouglova proporcionalne su kvadratima odgovarajućih stranica:

P : P₁ = a² : a₁² = b² : b₁² = c² : c₁²

Zadatak 1

Nađi nepoznatu duž x sa slike. Pazi! Prvo moraš da dokažeš da su trouglovi slični.

Rešenje

AB : A₁B₁ = 8 : 4 = 2 = k

AC : A₁C₁ = 4 : 2 = 2 = k

A = A₁ = a

pa je to na osnovu drugog stava sličnosti → ∆ ABC ∆ A₁B₁C₁.

BC : B₁C₁ = x : 3 = k

x : 3 = 2

x = 6

Zadatak 2

Odredi ugao pri vrhu jednakokrakog trougla PQR.
.

Rešenje

Kraci se odnose kao 5 : 4 = 1,25

Osnovice 4 : 3,2 = 1,25

Ovi trouglovi su slični na osnovu trećeg stava. To znači da su im jednaki i odgovarajući uglovi.

x = 180ᵒ – 2 · 65ᵒ

x = 180ᵒ – 130ᵒ

x = 50ᵒ

Zadatak 3

Produžeci krakova AD i BC trapeza ABCD se seku u tački P. Ako su osnovice trapeza 15 cm i 9 cm, a kraci 7 cm i 10 cm, koliki je obim trougla CDP?

Rešenje

Trouglovi ABP i DCP su slični prema prvom stavu.

AB : DC = 15 : 9 = 5 : 3

BP : CP = (10 + CP) : CP = 5 : 3
3(10 + CP) = 5CP
30 + 3CP = 5CP
2CP = 30
CP = 15

AP : DP = (7 + DP) : DP = 5 : 3
3(7 + DP) = 5DP
21 + 3DP = 5DP
2DP = 21
DP = 10,5

O = DC + CP + DP = 9 + 15 + 10,5 = 34,5 cm

Zadatak 4

Prave AB i DE su paralelne. Odredi nepoznatu dužinu x sa slike.

Rešenje

Trouglovi ARC i DEC su slični na osnovu prvog stava sličnosti. Razmera odgovarajućih stranica glasi:

(x + 0,2) : (x + 5) = 6 : 10 = 3 : 5

5(x + 0,2) = 3(x + 5)

5x + 1 = 3x + 15

2x = 14

x = 7

Zadatak 5

Osnovici jednakokrakog trougla ABC odgovara visina h_a = 16 cm, a visina koja odgovara kraku je h_b = 12 cm. Obim sličnog trougla A₁B₁C₁ je O₁ = 22 cm. Odredi stranice trougla A₁B₁C₁.

Rešenje

Znamo da su stranice obrnuto proporcionalne visinama:
a : b = h_b : h_a = 12 : 16 = 3 : 4

Ovaj odnos mora da važi i u sličnom trouglu A₁B₁C₁.

a₁  : b₁  = 3 : 4
a₁  = 3k
b₁  = 4k

O₁ = 22 cm
O₁ = a₁ + 2b₁
a₁ + 2b₁ = 22

3k + 8k = 22
11k = 22

k = 2 , pa je a1 = 3 · 2 = 6 cm ; b1 = 4 · 2 = 8 cm

Naučili smo

• Prvi stav sličnosti: Dva trougla su slična ako su dva unutrašnja ugla jednog trougla jednaka s dva odgovarajuća ugla drugog trougla.

• Drugi stav sličnosti: Dva trougla su slična ako su dve stranice jednog proporcionalne s dve odgovarajuće stranice drugog trougla i uglovi zahvaćeni ovim stranicama jednaki su među sobom.

• Tvrđenje: U svakom trouglu visine su obrnuto proporcionalne odgovarajućim stranicama: a : b = h_b : h_a.

• Treći stav sličnosti: Dva trougla su slična ako su sve stranice jednog proporcionalne odgovarajućim stranicama drugog trougla.

• Broj k zovemo koeficijent sličnosti trouglova.

• Površine sličnih trouglova proporcionalne su kvadratima odgovarajućih stranica.

<% if(tag === 'undefined') {%><% } else { %><% } %>

Premium status ti omogućava:

Dodatan sadržaj

Novosti

Najnoviji članci Pogledaj sve

Dodatni sadržaj

Shop

Stavovi sličnosti trouglova