Talesova teorema

Shtreberove lekcije proizvod su puno rada i istraživanja. Podržite nas kupovinom Premium naloga i omogućite vašem detetu da uči na najbolji način. Hvala!

Kupi sada

O Talesu

Tales iz Mileta je bio poznati starogrčki filozof, matematičar i državnik.

Važio je za jednog od Sedam mudraca. Neke poznate njegove izreke su:

• „Najbrži je um, jer kroz sve juri.“
• „Ako zapovedaš, upravljaj samim sobom.“
• „Kako ćemo živeti najbolje i najpravednije? Ako ne budemo radili ono što drugima prigovaramo.“

U matematici je poznat po dokazima nekih stavova i teorema.

U nastavku ove lekcije ćemo upoznati jednu od najvažnijih teorema koja povezuje paralelnost i proporcionalnost duži.

Talesova teorema

U prethodnim razredima videli smo pojam i osobine srednje linije trougla. Tačke M i N su središta stranica BC i AC trougla ABC, pa je MN srednja linija koja odgovara stranici AB, pri čemu važi:

MN | | AB i

MN = AB

To znači da važe odnosi:

CA : CN = 2 : 1 = CB : CM = AB : MN

Posmatrajmo sledeći primer:

Neka je dat jednakostraničan trougao MNP, stranice dužine 6 cm. Dalje, neka su N₁, N₂ i N₃ tačke na stranici MN takve da je MN₁ = 2 cm, MN₂ = 3 cm i MN₃ = 4 cm, a tačke P₁, P₂i P₃ tačke na stranici MP takve da je MP₁ = 2 cm, MP₂ = 3 cm i MP₃ = 4 cm.

Tada su i trouglovi MN₁P₁, MN₂P₂ i MN₃P₃ jednakostranični.

Otključaj Premium

Čitaj celu lekciju
Rešavaj 10x više zadataka
Osvoj 2x više bodova i energija ti se puni duplo brže

Za 1200 RSD postani Premium!

Postani Premium

Na osnovu dužina odgovarajućih stranica uočavamo odnose:

Sa druge strane zapažamo da je N₂P₂ | | N₃P₃ i pri tom je:

Upravo ovakvu vrstu problema proučavao je i Tales. Njemu se pripisuje i sledeća teorema koja je po njemu dobila ime i koju navodimo bez dokaza. U literaturi postoje različite formulacije ove teoreme, a suština je sadržana u sledećem tvrđenju:

Talesova teorema: Ako paralelne prave seku krake ugla, tada su odsečci na kracima od temena do preseka sa pravom i odsečci između krakova direktno proporcionalni.

= = ili, drugačije zapisano: OA : OB = OA1 : OB1 = AB : A1B1

Primena Talesove teoreme

Pomoću Talesove teoreme možemo rešiti određene konstrukcijske probleme:

1. Konstrukcija četvrte geometrijske proporcionale

Problem: Date su tri duži a, b i c. Konstruisati duž x, takvu da važi a : b = c : x.

Analiza: Ako dati uslov uporedimo sa Talesovom teoremom, tj. sa OA : OB = OA₁ : OB₁ imaćemo da je OA = a, OB = b (na jednom kraku) i OC = c i OX = x (na drugom kraku). Pri tom su prave AC i BX paralelne.

Konstrukcija: Nacrtamo proizvoljan oštar ugao pOq, na kraku Op tačke A i B, takve da je OA = a, OB = b, a na kraku Oq tačku C, takvu da je OC = c. Kroz tačku B zatim, konstruišemo pravu paralelnu sa AC, njen presek sa krakom Oq označimo sa X.

Duž OX ima traženu dužinu x.

2. Podela date duži na proizvoljan broj jednakih delova

Neka je data duž OA = a i neka je treba podeliti na 5 jednakih delova.

Prvo crtamo proizvoljan oštar ugao pOq i na kraku Op tačku A, takvu da je OA = a. Zatim na kraku Op, polazeći od tačke O, crtamo 5 duži jednake dužine – označimo prvu tačku, a zatim prenosimo šestarom preostale 4 tačke.

Označimo poslednju (petu) tačku sa B i crtamo duž AB.

Kroz preostale 4 tačke konstruišemo prave koje su paralelne sa duži AB.

Ove paralele dele duž OA na 5 jednakih delova.

3. Zanimljive primene Talesove teoreme

Prema legendi, Tales se proslavio time što je izračunao visinu Keopsove piramide posmatrajući i mereći senke objekata i primenjujući gornju teoremu.

A – visina nekog objekta koju možemo izmeriti

B – dužina senke tog objekta

C – dužina senke piramide

D – visina piramide

Veličine A, B i C su poznate ili se mogu direktno izmeriti.

Primenom Talesove teoreme dobijamo jednakost iz koje lako izračunavamo D:

D : A = C : B

Još jedna važna posledica Talesove teoreme:

Ako paralelne prave seku krake oštrog ugla, svi odgovarajući odsečci su međusobno proporcionalni, to jest važi:

OA₁ : OB₁ = A₁A₂ : B₁B₂ = A₂A₃ : B₂B₃ = A₃A₄ : B₃B₄

Obrnuta Talesova teorema

Ako dve prave seku krake nekog ugla tako da su proporcionalni odsečci na kracima određeni temenom ugla, tada su ove dve prave paralelne.

Zadaci za vežbanje

Zadatak 1

Konstruiši četvrtu geometrijsku proporcionalu x, takvu da je a : b = c : x ako je a = 7 cm, b = 5 cm i c = 6 cm.

Nacrtaj proizvoljan oštar ugao sa temenom O. Na jednom kraku označi tačke A i B, takve da je OA = 7 cm i OB = 5 cm. Na drugom kraku ugla označi tačku C takvu da je OC = 6 cm.

Sada konstruiši pravu koja sadrži tačku B i paralelna je sa duži AC. Ta prava seče drugi krak u tački X. Na osnovu Talesove teoreme duž OX ima traženu dužinu x.

Zadatak 2

Na duži AB = 6 cm konstruiši tačku P takvu da je AP : PB = 2 : 3.

Prvo nacrtaš duž AB = 6 cm i polupravu sa početkom u A, tako da dobiješ oštar ugao. Pošto je dati odnos 2 : 3, na toj polupravoj, istim otvorom šestara, označiš 5 jednakih duži. (5 = 2 + 3).

Poslednju tačku spojiš da tačkom B. Neka je to duž b. Sada, kroz preostale 4 tačke konstruišeš prave paralelne sa duži b. Ove prave na duži AB grade 5 duži jednake dužine. Tačka P je ona između druge i treće duži.

Zadatak 3

Na sledećoj slici prave MN i PQ su paralelne. Odredi dužinu duži PQ ako je ON = 6 cm, OQ = 9 cm, MN = 8 cm.

Pošto su MN i PQ paralelne, možemo primeniti Talesovu teoremu:

PQ : MN = OQ : ON

PQ : 8 = 9 : 6

6 · PQ = 72

PQ = 12 cm

Zadatak 4

Da li su prave PQ i MN paralelne ako je OP = 9 cm, PM = 1 cm, QN = 2 cm i ON = 16 cm?

U ovom zadatku primenjujemo obrnutu Talesovu teoremu. Proverićemo da li je OP : OM = OQ : ON. (*)

OM = OP – PM = 9 – 1 = 8

OQ = ON + NQ = 16 + 2 = 18

Dobijene vrednosti zamenimo u (*) i dobijamo jednakost

9 : 8 = 18 : 16 (desnu stranu skratimo sa 2)

9 : 8 = 9 : 8 što je tačna jednakost, pa zaključujemo da su prave MN i PQ paralelne.

Zadatak 5

U trapezu ABCD produžeci krakova AB i CD seku se u tački M. Ako je AM = 10 cm, AB = 2 cm i MD = 15 cm, izračunati dužinu kraka CD.

AD i BC su osnovice trapeza i one su paralelne, pa možemo primeniti Talesou teoremu. U ovom slučaju primenjujemo posledicu, koja kaže da su odgovarajuži odsečci proporcionalni:

AM : AB = DM : CD

10 : 2 = 15 : CD

10 · CD = 30

CD = 3 cm.

Naučili smo

• Tales iz Mileta je bio poznati starogrčki filozof, matematičar i državnik. Važio je za jednog od Sedam mudraca.

• U matematici, Tales je poznat po dokazima nekih stavova i teorema.

• Talesova teorema: Ako paralelne prave seku krake ugla, tada su odsečci na kracima od temena do preseka sa pravom i odsečci između krakova direktno proporcionalni.

• Obrnuta Talesova teorema: Ako dve prave seku krake nekog ugla tako da su proporcionalni odsečci na kracima određeni temenom ugla, tada su ove dve prave paralelne.

<% if(tag === 'undefined') {%><% } else { %><% } %>

Premium status ti omogućava:

Dodatan sadržaj

Novosti

Najnoviji članci Pogledaj sve

Dodatni sadržaj

Shop

Talesova teorema