Uglovi mnogougla

Shtreberove lekcije proizvod su puno rada i istraživanja. Podržite nas kupovinom Premium naloga i omogućite vašem detetu da uči na najbolji način. Hvala!

Kupi sada

Rešavaj zadatke

Start

Uvod u uglove mnogougla za sedmi razred

Dobrodošli u svet geometrije, gde istražujemo fascinantne aspekte mnogouglova i njihovih uglova. U ovoj lekciji, namenjenoj učenicima sedmog razreda, fokusiraćemo se na ključne koncepte koji obuhvataju uglove mnogougla, vrste uglova, kao i formule za izračunavanje zbira unutrašnjih i spoljašnjih uglova.

Mnogouglovi su osnova geometrije i imaju široku primenu u matematici, inženjerstvu, umetnosti i svakodnevnom životu. Razumevanje njihovih uglova omogućava nam da bolje shvatimo svet oko nas.

Kroz ovu lekciju, istražićemo kako se mnogouglovi klasifikuju, kako se računa zbir unutrašnjih uglova mnogougla i zašto zbir spoljašnjih uglova uvek iznosi 360 stepeni. Pridružite nam se na sajtu Shtreber.com dok zajedno otkrivamo tajne uglova mnogougla, koristeći ključne pojmove poput "uglovi mnogougla", "zbir unutrašnjih uglova", i "zbir spoljašnjih uglova", kako bismo dublje razumeli geometriju koja oblikuje naš svet.

Vrste uglova

U mnogouglima, uglovi mogu biti unutrašnji ili spoljašnji:

Unutrašnji uglovi su uglovi na unutrašnjoj strani mnogougla, formirani između dve susedne stranice.
Spoljašnji uglovi su uglovi koji se nalaze izvan mnogougla, pored svakog unutrašnjeg ugla, formirani produžetkom jedne od stranica mnogougla.

Zbir unutrašnjih uglova

Formula za izračunavanje sume unutrašnjih uglova mnogougla je

(n - 2) \cdot 18 0^{\circ}

, gde je

n

broj stranica mnogougla. Ova formula omogućava da se brzo izračuna ukupan zbir unutrašnjih uglova bilo kog mnogougla, što je ključno za rešavanje mnogih geometrijskih problema.

Zbir spoljašnjih uglova

Jedno od najzanimljivijih svojstava mnogougla je da zbir spoljašnjih uglova, kada se meri po jedan ugao kod svakog vrha, uvek iznosi

36 0^{\circ}

, bez obzira na broj stranica mnogougla. Ovo pravilo važi pod uslovom da se uzima po jedan spoljašnji ugao na svakom vrhu mnogougla.

Obeležimo vrhove konveksnog mnogougla sa $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ . Nacrtamo sada sve moguće dijagonale našeg mnogougla koje prolaze kroz tačku $A_{1}$ . Broj takvih dijagonala je isti kao broj vrhova koji nisu susedni sa $A_{1}$ , to jest $n - 3$ , jer dijagonale možemo povući od $A_{1}$ do svih ostalih vrhova osim susednih vrhova $A_{2}, A_{n}$ i samog vrha $A_{1}$ . Ovih $n - 3$ dijagonale dele mnogougao na $n - 2$ trougla (ovde koristimo svojstvo konveksnosti, jer sve dijagonale će ležati unutar mnogougla).

Treba zapaziti da se zbir uglova mnogougla sastoji iz zbira uglova svih tih trouglova. Pošto je zbir uglova svakog trougla jednaka $18 0^{\circ}$ , a trouglova ima $n - 2$ , onda je zbir uglova mnogougla jednaka $18 0^{\circ} \cdot (n - 2)$ .

Što je i trebalo dokazati.

Otključaj Premium

Čitaj celu lekciju
Rešavaj 10x više zadataka
Osvoj 2x više bodova i energija ti se puni duplo brže

Za 1200 RSD postani Premium!

Postani Premium

Zapažemo da svaki unutrašnji ugao konveksnog mnogougla u zbiru sa svojim susednim spoljašnjim uglom daje $18 0^{\circ}$ . Ukupno imamo $n$ takvih parova.

Stoga, dobijamo da je zbir svih unutrašnjih uglova, uzetih po jednom kod svakog vrha (označimo ga sa $α$ ), zajedno sa zbirom svih spoljašnjih uglova (koje označavamo sa $β$ ) daje $n \cdot 18 0^{\circ}$ .

Po prethodnoj teoremi,

α = 18 0^{\circ} \cdot (n - 2)

Tada imamo:

β = 18 0^{\circ} \cdot n - α = 18 0^{\circ} \cdot n - 18 0^{\circ} \cdot (n - 2) = 36 0^{\circ}

Što je i trebalo dokazati.

Dokazati da u konveksnom mnogouglu ne može biti više od tri oštra (unutrašnja) ugla.

Pretpostavimo da se našlo četiri oštra ugla mnogougla. Tada su susedni sa njima spoljašnji uglovi tupi, što znači da je njihova suma veća od

9 0^{\circ} \cdot 4 = 36 0^{\circ}

. To protivreči teoremi o zbiru spoljašnjih uglova konveksnog mnogougla.

Što je i trebalo dokazati.

Rešavaj zadatke 0/4

Start

Zadatak:

Petougao ima pet unutrašnjih uglova. Ako su četiri od tih unutrašnjih uglova $11 0^{\circ}$ , $9 5^{\circ}$ , $13 5^{\circ}$ i $8 5^{\circ}$ , koliki je peti unutrašnji ugao?

Rešenje:

Korak: Seti se formule za zbir unutrašnjih uglova mnogougla: $(n - 2) \cdot 18 0^{\circ}$ , gde je $n$ broj strana mnogougla.
Korak: Izračunaj sumu unutrašnjih uglova za petougao koristeći formulu.
Korak: Saberi date uglove i oduzmi njihov zbir od ukupnog zbira unutrašnjih uglova petougla.
Korak: Dobijeni rezultat predstavlja meru petog unutrašnjeg ugla.

Izazovno pitanje:

Možeš li objasniti zašto zbir spoljašnjih uglova svakog mnogougla, bez obzira na broj strana, uvek iznosi

36 0^{\circ}

Zadatak:

Pronađi mere unutrašnjih uglova četvorougla ako su tri ugla međusobno jednaka i četvrti ugao je za $6 0^{\circ}$ veći od bilo kog od preostala tri ugla.

Rešenje zadatka:

Korak: Koristi formulu za zbir unutrašnjih uglova mnogougla $(n - 2) \cdot 18 0^{\circ}$ , gde je $n$ broj strana mnogougla. Za četvorougao, $n = 4$ .
Korak: Izračunaj zbir unutrašnjih uglova četvorougla: $(4 - 2) \cdot 18 0^{\circ} = 2 \cdot 18 0^{\circ} = 36 0^{\circ}$ .
Korak: Postavi jednačinu $3 x + (x + 6 0^{\circ}) = 36 0^{\circ}$ .
Korak: Sredi jednačinu i reši za $x$ :
$4 x + 6 0^{\circ} = 36 0^{\circ}$
$4 x = 30 0^{\circ}$
$x = 7 5^{\circ}$
Korak: Izračunaj meru četvrtog ugla: $x + 6 0^{\circ} = 7 5^{\circ} + 6 0^{\circ} = 13 5^{\circ}$

Konačno rešenje:

Tri jednaka unutrašnja ugla četvorougla su po $7 5^{\circ}$ , a četvrti unutrašnji ugao je $13 5^{\circ}$ .

Zadatak 1: Zbir unutrašnjih uglova

Izračunaj szbir unutrašnjih uglova osmougla.

Zadatak 2: Nalaženje nepoznatih uglova

U heksagonu, pet uglova su jednaki 120°. Koliki je šesti ugao?

Zadatak 3: Spoljašnji uglovi

Ako je jedan spoljašnji ugao mnogougla 45°, koliko mnogougao ima stranica?

Zadatak 4: Pravilni mnogougao

Svi unutrašnji uglovi pravilnog mnogougla su 156°. Koliko mnogougao ima stranica?

Primer 3: Ako je broj stranica mnogougla $n = 16$ (šesnaestougao): $D = 2 16 ( 16 - 3 ) = 2 16 \cdot 13 = 2 208 = 104$ Šesnaestougao ima ukupno 104 dijagonale.

Primer 4: Ako je broj stranica mnogougla $n = 20$ (dvadesetougao): $D = 2 20 ( 20 - 3 ) = 2 20 \cdot 17 = 2 340 = 170$ Dvadesetougao ima ukupno 170 dijagonala.

Primer 5: Ako je broj stranica mnogougla $n = 25$ (dvadesetpetougao): $D = 2 25 ( 25 - 3 ) = 2 25 \cdot 22 = 2 550 = 275$ Dvadesetpetougao ima ukupno 275 dijagonala.

Zadatak 5: Povezivanje uglova i stranica

Koji mnogougao ima zbir unutrašnjih uglova jednakih 1260°? Koliko stranica ima taj mnogougao?

Zadatak 6: Unutrašnji i spoljašnji uglovi

Jedan unutrašnji ugao mnogougla je 140°. Koliki je njegov odgovarajući spoljašnji ugao?

Zadatak 7: Uglovi u mnogouglu

U jednom mnogouglu, dva ugla su po 100°, a ostali uglovi su po 80°. Ako je zbir svih uglova mnogougla 1400°, koliko mnogougao ima ukupno stranica?

Zadatak 8: Pravilni mnogougao i njegovi uglovi

Ako je spoljašnji ugao pravilnog mnogougla 18°, koliko stranica ima taj mnogougao?

<% if(tag === 'undefined') {%><% } else { %><% } %>

Premium status ti omogućava:

Dodatan sadržaj

Novosti

Najnoviji članci Pogledaj sve

Dodatni sadržaj

Shop