Funkcija direktne proporcionalnosti

Podsetimo se

Šta su zavisno promenljive veličine?

To su veličine kod kojih promena vrednosti jedne uslovljava promenu vrednosti druge veličine.

U ovoj lekciji razmatramo parove zavisno promenljivih veličina, odnosno, kako promena jedne veličine utiče na promenu druge. Može biti i više od dve zavisno promenljive veličine, ali za sada razmatramo slučaj gde su samo dve.

Direktna proporcionalnost

Za dve zavisno promenljive veličine kažemo da su direktno proporcionalne ako važi: povećavanje jedne veličine uslovljava povećavanje druge veličine; ili smanjivanje jedne veličine uslovljava smanjivanje druge veličine.

Na primer:

Radnik zarađuje 300 dinara po satu. Ako sa x označimo vreme koje je proveo na poslu, a sa y njegovu zaradu, jasno je da visina zarade zavisi od vremena (broja sati) koje je radnik proveo radeći. Štaviše, zavisnost visine plate od broja ostvarenih radnih sati možemo izraziti formulom:

y = 300 · x

Otključaj Premium

Čitaj celu lekciju
Rešavaj 10x više zadataka
Osvoj 2x više bodova i energija ti se puni duplo brže

Za 855 RSD postani Premium!

Postani Premium

Srednje!

Bravo!

Pogledaj odgovor u lekciji.

Posao pakovanja 10 kg neke robe za jedan dan završi 5 radnika. Da li su direktno proporcionalne veličine broj radnika i vreme potrebno za pakovanje određene količine robe?

Bravo!

Osvojeno je

+

+

Bravo!

Odgovor je tačan i osvojeno je 10 Bodovi
Prijavi se i sačuvaj svoje bodove.

Prijavi se

Na dalje ćemo direktnu proporcionalnost posmatrati kao matematičku funkciju.

Ako je k realan broj, funkcija direktne proporcionalnosti predstavlja vezu između dveju veličina (x i y), takvu da je:

y = kx, za k ∈ R i k ≠ 0

Broj k zovemo koeficijentom proporcionalnosti.

Ako se funkcija direktne proporcionalnosti odnosi na nenegativne veličine x i y, onda je:

k =

, za svako x > 0 i k > 0.

Srednje!

Bravo!

Pogledaj odgovor u lekciji.

Data je funkcija y = 1,5x. Koliki je koeficijent proporcionalnosti?

Bravo!

Osvojeno je

+

Bravo!

Odgovor je tačan i osvojeno je 10 Bodovi
Prijavi se i sačuvaj svoje bodove.

Prijavi se

Algebarsko predstavljanje

Posmatrajmo sada funkciju direktne proporcionalnosti y = 2x.

x je nezavisno promenljiva, i ona može imati proizvoljne realne vrednosti.

y je zavisno promenljiva, i njena vrednost zavisi od vrednosti promenljive x.

Ovu zavisnost možemo prikazati na razne načine: algebarski, tablično ili pomoću grafika u koordinatnom sistemu.

Algebarsko predstavljanje je zapis pomoću matematičkog izraza, u našem slučaju to je izraz y = 2x.

Tablično predstavljanje

Tablično predstavljanje podrazumeva izračunavanje vrednosti promenljive y na osnovu zadate vrednosti promenljive x.

Ako ove vrednosti nisu unapred zadate, možemo ih nasumično odabrati.

Odaberimo vrednosti promenljive x, tako da

x ∈ {0, 1, 1,5, 2, 4}.

Tablica za datu funkciju :

x	0	1	1,5	2	4
y=2x	0	2	3	4	8

Grafičko predstavljanje

Odgovarajući parovi vrednosti promenljivih x i y su u raspoređeni u kolonama. Takođe, svaki par vrednosti (x, y) određuje po jednu tačku u koordinatnom sistemu.Spajanjem tih tačaka dobijamo grafički prikaz zavisnosti direktno proporcionalnih veličina.

U našem primeru, a prema gornjoj tabeli, to su tačke: (0, 0), (1, 2), (1,5, 3), (2, 4) i (4, 8).

Odgovarajući graficki prikaz je dat na slici.

Srednje!

Bravo!

Pogledaj odgovor u lekciji.

Da li su direktno proporcionalne veličine date u tabeli?

Bravo!

Osvojeno je

+

Bravo!

Odgovor je tačan i osvojeno je 10 Bodovi
Prijavi se i sačuvaj svoje bodove.

Prijavi se

Zadaci za vežbanje

1. Popuni datu tabelu za funkciju y = 3x.

x	1		3		5
y		2		4		6

x	1		3		5	2
y	3	2	9	4	15	6

2. Da bi napravila 10 palačinki, Ana je upotrebila izvesnu količinu mleka, brašna i jedno jaje. Za Borinu rođendansku žurku Ana želi da napravi veću količinu palačinki. Dopuni tabelu koju je Ana pravila. Na osnovu tabele nacrtaj grafikon.

broj palačinki	10		30	40
broj jaja	1	5			2

broj palačinki	10	50	30	40	20
broj jaja	1	5	3	4	2

3. Izrazi funkciju direktne proporcionalnosti dužine u cm stranice kvadrata u zavisnosti od datog obima.

Formula za obim kvadrata glasi O = 4a. Međutim, nama treba zavisnost stranice od obima. Do te zavisnosti dolazimo izražavanjem stranice a preko obima:

4a = O

a = O : 4, odnosno a = · O,

pa je odgovarajuća funkcija y = · x

4. Biciklista vozi od Loznice ka Ljuboviji brzinom od 30 km na sat. Odredi formulu oblika y = k · x, gde vreme x merimo minutima, a y je pređeni put.

Koliko je kilometara prešao za 8 minuta vožnje? Od Loznice do Koviljače je 6 km.

Koliko je trajala vožnja do Koviljače? Podatke čitaj sa odgovarajućeg grafika.

Biciklista pređe 30 km za 60 minuta. Odavde nalazimo da mu za 1 km treba:
60 : 30 = 2 minuta. Za 2 km će mu trebati 4 minuta. Tačke (2, 1) i (4, 2) određuju grafik:

Vidimo da je x = 2 · y, pa je y=12x
Sa grafika vidimo da će za 8 minuta preći 4 km.
Do Koviljače ima 6 km, pa je potrebno vreme 6 · 2 = 12 minuta.

5. Automobil se na auto-putu kreće prosečnom brzinom od 90 km/h.

a) Napravi tabelu koja prikazuje dužinu pređenog puta za prvih pet neparnih sati putovanja.
b) Nacrtaj grafik koji prikazuje pređeni put po jedinici vremena (na y osi uzeti da 1 cm predstavlja 50 km.)
c) Sa grafika pročitaj koliki je put prešao automobil posle 4 sata vožnje.
d) Sa grafika pročitaj za koliko sati će automobil preći put od 630 km.

a) U našem zadatku dužina pređenog puta zavisi od vremena putovanja.x – vreme putovanja (u satima)y – pređeni put (u kilometrima)

x	1	3	5	7	9
y	90	270	450	630	810