Iracionalni brojevi

Podsetimo se:

Kada za neki broj kažemo da je racionalan?

Brojevi koji se mogu predstaviti u obliku , gde su p i q uzajamno prosti brojevi, odnosno NZD(p, q) = 1, a q ≠ 0, nazivaju se racionalni brojevi.

Jednačinu x² = 25 znamo da rešimo.

x₁ = i x₂ = –

x₁ = 5 i x₂ = – 5

Posmatrajmo sada jednačinu x² = 2.

Njena rešenja su x₁ = i x₂ = – .

Međutim, vrednost broja ne može se odrediti na načine na koje smo to do sada radili. Štaviše, još pre oko 2300 godina, starogrčki filozof i matematičar Aristotel je dokazao sledeće tvrđenje:

nije racionalan broj.

Otključaj Premium

Čitaj celu lekciju
Rešavaj 10x više zadataka
Osvoj 2x više bodova i energija ti se puni duplo brže

Za 1200 RSD postani Premium!

Postani Premium

O Aristotelu

Aristotel je bio filozof antičke Grčke čija su učenja, zajedno sa Sokratovim i Platonovim, postavila temelje filozofije zapadne civilizacije. Pohađao je Platonovu Akademiju u Atini i bio učitelj Aleksandra Velikog. Svoj život proveo je učeći, predavajući i pišući.

Evo nekih poznatih Aristotelovih misli i izreka.

Duhovitost je drskost koja je stekla obrazovanje.
Strpljenje je gorko, ali plodovi su mu slatki.
Ljubav je sastavljena od jedne duše koja naseljava dva tela.
Sreća je smisao i svrha života, ceo cilj i kraj ljudskog postojanja.
Muzika ima moć da oblikuje karakter.
Mi smo ono što neprestano činimo.

Dokaz da √2 nije racionalan broj

Dokaz koji je izložio Aristotel smatra se jednim od najelegantnijih dokaza u matematici:

Pretpostavimo suprotno, odnosno da je racionalan broj.

To znači da postoje brojevi p i q, koji su uzajamno prosti, takvi da je √2 = .

Kada kvadriramo levu i desnu stranu jednakosti dobijamo sledeće:

Dobili smo da 2|p i 2|q, što je u suprotnosti sa tim da su p i q uzajamno prosti brojevi. Na osnovu toga zaključujemo da je naša polazna pretpostavka da je √2 racionalan broj bila pogrešna.

Ovim je dokazano tvrđenje da √2 nije racionalan broj.

Lako!

Bravo!

Pogledaj odgovor u lekciji.

Da li se svaki broj može predstaviti u obliku , gde su p i q uzajamno prosti brojevi?

Bravo!

Osvojeno je

+

+

Bravo!

Odgovor je tačan i osvojeno je 10 Bodovi
Prijavi se i sačuvaj svoje bodove.

Prijavi se

Iracionalni brojevi

Iracionalnih brojeva je mnogo. Recimo, kvadratni koren iz ma kog prostog broja je iracionalan broj.

Takođe, postoje brojevi koji nisu prosti, a njihov koren je opet iracionalan broj. Recimo ,,... Slično dokazu za i za ove brojeve je lako dokazati da su iracionalni.

Brojevi koji se ne mogu predstaviti u obliku , gde su p i q uzajamno prosti brojevi i q ≠ 0, nazivaju se iracionalni brojevi.

Decimalni zapis iracionalnog broja ima beskonačno mnogo decimala koje nisu periodične.

Ova osobina nam pokazuje da nisu samo kvadratni koreni iracionalni brojevi. Npr. broj 5,01001000100001... (iza svake decimale 1 je jedna više decimala 0 nego ispred nje).

I broj π je iracionalan broj.

Lako!

Bravo!

Pogledaj odgovor u lekciji.

Da li je decimalni broj koji ima beskonačan broj decimala, a koje su periodične, racionalan?

Bravo!

Osvojeno je

+

Bravo!

Odgovor je tačan i osvojeno je 10 Bodovi
Prijavi se i sačuvaj svoje bodove.

Prijavi se

U čemu se razlikuju decimalni zapisi racionalnih i iracionalnih brojeva?

Racionalni brojevi imaju ili konačan broj decimala, ili imaju beskonačno mnogo decimala koje se periodično ponavljaju.

Iracionalni brojevi imaju beskonačno mnogo decimala kod kojih nema periodičnog ponavljanja.

Srednje!

Bravo!

Pogledaj odgovor u lekciji.

Koji od datih brojeva su racionalni?

Bravo!

Osvojeno je

+

Bravo!

Odgovor je tačan i osvojeno je 10 Bodovi
Prijavi se i sačuvaj svoje bodove.

Prijavi se

Neka su m i n racionalni brojevi i neka je a iracionalan. Tada je i broj m · a + b takođe iracionalan broj.

Zadaci za vežbanje

Rešenja zadataka se nalaze sa desne strane.

1. Neka je x ∈ {16, 25, , 5, , 4, 17, 1, 0,04}. Za koje x je iracionalan broj?

To su brojevi:

i 17

jer su:

iracionalni brojevi.

2. Ispitaj tačnost nejednakosti:

a) 2,8 < < 2,9

b) 4,4 < < 4,5

Tačnost ispitujemo tako što kvadriramo sve elemente nejednakosti, pa onda gledamo da li i ti kvadrati zadovoljavaju datu nejednakost.

a) 2,82 = 2,8 · 2,8 = 7,84 < 8

2,92 = 2,9 · 2,9 = 8,41 > 8

data nejednakost je tačna;

b) 4,42 = 4,4 · 4,4 = 19,36 < 21

4,52 = 4,5 · 4,5 = 20,25 što nije veće od 21

data nejednakost je netačna.

3. Da li je rešenje date jednačine iracionalan broj?

a) x² - 3 = 8

b) (x - 1)² = 11

x²- 3 = 8

x² = 8 + 3

x² = 11

x₁ =

x₂ = -

Rešenja su iracionalni brojevi.

(x - 1)² = 11

x₁ - 1 =

x₁ = + 1

x₂ - 1 = -

x₂ = 1 -

I ovo su iracionalni brojevi.

4. Poređaj date brojeve po veličini od najmanjeg do najvećeg: ; 1,41; – ; – ; –1,41

–

< –

< –1,41 < 1,41 <

5. Slično dokazu za , dokaži da je iracionalan broj .

Pretpostavimo suprotno, da je racionalan broj. To znači da postoje brojevi p i q, koji su uzajamno prosti, takvi da je . Kada kvadriramo levu i desnu stranu jednakosti dobija se prikazano na slici.

Dobili smo da 15|p i da 15|q, što je suprotno sa tim da su p i q uzajamno prosti brojevi. Dakle

nije racionalan broj.

6. Da li je racionalan izraz:

Ovo je racionalan broj!

Naučili smo

• Aristotel je bio filozof antičke Grčke čija su učenja, zajedno sa Sokratovim i Platonovim, postavila temelje filozofije zapadne civilizacije.

• Iracionalnih brojeva je mnogo. Recimo, kvadratni koren iz ma kog prostog broja je iracionalan broj.

• Decimalni zapis iracionalnog broja ima beskonačno mnogo decimala koje nisu periodične.

• I broj π je iracionalan broj.

• Racionalni brojevi imaju ili konačan broj decimala, ili imaju beskonačno mnogo decimala koje se periodično ponavljaju.

• Iracionalni brojevi imaju beskonačno mnogo decimala kod kojih nema periodičnog ponavljanja.

Premium status ti omogućava:

Dodatan sadržaj

Novosti

Najnoviji članci Pogledaj sve

Dodatni sadržaj

Shop

Iracionalni brojevi

Iracionalni brojevi

O Aristotelu

Dokaz da √2 nije racionalan broj

Bravo!

Osvojeno je

+

+

Iracionalni brojevi

Bravo!

Osvojeno je

+

+

Bravo!

Osvojeno je

+

+

Zadaci za vežbanje

Naučili smo