Najveći zajednički delilac (NZD)

Uvod

Pre nego što uvedemo osnovne pojmove i pravila, pročitaj sledeću zanimljivost.

Naime, starogrčki matematičar Euklid opisao je postupak za određivanje NZD-a za dva proizvoljna prirodna broja i .

Taj postupak poznat je kao Euklidov algoritam i jedan je među prvima za određivanje NZD-a.

Njegova ideja zasnivala se na korišćenju osobina deljivosti tj. svojstva deljivosti. Euklidov algoritam je praktičan za velike brojeve.

1592px-Jusepe_de_Ribera_-_Euclid_-_2001-26_-_J-_Paul_Getty_Museum

Izvor: Wikimedia Commons

Najveći zajednički delilac

Odredimo delioce brojeva 18 i 30. Kakvi su to brojevi? To su složeni brojevi.

Delioci broja 18 su: 1, 2, 3, 6, 9 i 18.

Delioci broja 30 su: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 i 30.

Šta uočavamo kod delilaca ova dva broja? Uočavamo da ova dva broja imaju zajedničke delioce i to 1, 2, 3 i 6.

Koji je među zajedničkim deliocima najveći? Najveći je broj 6.

Zaključujemo da su brojevi 1, 2, 3 i 6 zajednički delioci za 18 i 30, najveći od njih je broj 6.

Broj 6 nazivamo najvećim zajedničkim deliocem brojeva 18 i 30.

Najveći od svih zajedničkih delilaca prirodnih brojeva

naziva se najveći zajednički delilac tih brojeva.

Često ćemo koristiti skraćenicu NZD. Uvodimo i oznaku: NZD za dva broja

Posmatrajmo sledeći primer koji prikazuje dva načina rešavanja tj. određivanja NZD-a.

Otključaj Premium

Čitaj celu lekciju
Rešavaj 10x više zadataka
Osvoj 2x više bodova i energija ti se puni duplo brže

Za 1200 RSD postani Premium!

Postani Premium

Lako!

Bravo!

Pogledaj odgovor u lekciji.

Koji je najveći zajednički delilac za brojeve 8 i 12?

Bravo!

Osvojeno je

+

+

Bravo!

Odgovor je tačan i osvojeno je 10 Bodovi
Prijavi se i sačuvaj svoje bodove.

Prijavi se

PRIMER 1

Odrediti NZD za brojeve 72 i 60.

1. Način (rastavljanje brojeva na proste činioce)

Kako možemo napisati brojeve 72 i 60 tako da su rastavljeni na proste činioce?

Broj

Broj

Zajednički brojevi tj delitelji su 2, 2 i 3. Tačnije,

2. Način (zajednički prosti delioci)

Ovaj način će skratiti postupak koji će ličiti na šemu za rastavljanje složenih brojeva na proste činioce.

1. Korak - Oba broja su deljiva sa 2, pa ih delimo sa 2 (broj 2 upisujemo sa desne strane crvene linije)

2. Korak - Dobijeni količnici 36, 30 su ponovo deljivi sa 2, pa ih delimo sa 2. U slučaju da nisu deljivi sa 2, tražimo sledeći prosti broj koji će deliti oba količnika.

3. Korak - Novodobijeni količnici nisu deljivi sa 2, zato delimo narednim mogućim prostim brojem. U ovom slučaju brojem 3. Poslednji količnici 6 i 5 nemaju više zajedničkih delilaca, pa je postupak završen.

Dakle,

Srednje!

1/2

Bravo!

1/2

Pogledaj odgovor u lekciji.

Potrebno je spremiti drva za zimu. Odsečena su dva stabla dužine i . Potrebno je iseći stabla na najduže moguće jednake delove (merene u metrima). Koliko iznosi dužina jednog takvog izrezanog dela?

Bravo!

Osvojeno je

+

Bravo!

Odgovor je tačan i osvojeno je 10 Bodovi
Prijavi se i sačuvaj svoje bodove.

Prijavi se

Srednje!

2/2

Bravo!

2/2

Pogledaj odgovor u lekciji.

Koji je nzd za brojeve 366 i 273?

Bravo!

Osvojeno je

+

Bravo!

Odgovor je tačan i osvojeno je 10 Bodovi
Prijavi se i sačuvaj svoje bodove.

Prijavi se

NZD kod više brojeva

Da li možemo odrediti NZD za više od dva broja? Da, možemo!

Na koji način tj. da li je isto pravilo rešavanja kao i za dva broja? Jeste, pratimo korake kao u drugom načinu.

PRIMER 2

Baka u bašti ima 18 orhidej, 12 ljiljana i 30 ruža. Koliko najviše jednakih buketa baka može napraviti, ako buketi moraju da sadrže svaku vrstu cvetova?

Odgovor:

Primenićemo drugi način.

Dakle,

. Baka može napraviti 6 buketa, i u svakom su 3 orhideje, 2 ljiljana i 5 ruža.

Da li postoje brojevi koji nemaju svoje zajedničke delitelje? Postoje, s tim što će oni kasnije imati važnu ulogu u kasnijem proučavanju.

Dva prirodna broja

koji nemaju zajedničkih prostih delilaca

, predstavljaju uzajamno proste brojeve.

Lako!

1/2

Bravo!

1/2

Pogledaj odgovor u lekciji.

Kako se nazivaju brojevi koji nemaju zajedničke proste delioce?

Bravo!

Osvojeno je

+

Bravo!

Odgovor je tačan i osvojeno je 10 Bodovi
Prijavi se i sačuvaj svoje bodove.

Prijavi se

Srednje!

2/2

Bravo!

2/2

Pogledaj odgovor u lekciji.

Za Novu Godinu deca su zelela da okite učionicu. Kupili su jelku, par ukrasa i balone. Kupili su 21 plavih balona, 14 zelenih i 35 crvenih. Ideja je bila da balone vezuju u grupice tako da uzmu podjednak broj plavih, zelenih i crvenih. U koliko grupa najviše mogu povezati balone?

Bravo!

Osvojeno je

+

Bravo!

Odgovor je tačan i osvojeno je 10 Bodovi
Prijavi se i sačuvaj svoje bodove.

Prijavi se

PRIMER 3

Odrediti NZD za brojeve 15 i 28.

Odgovor:

Ovi brojevi nemaju zajedničkih delilaca osim jedinice, pa su brojevi uzajamno prosti tj.

Pogledajmo detaljnije:

Broj 15 je deljiv sa 5 i 3, a broj 26 je deljiv sa 2 i 13. Tačnije,

Sada je očigledno da ova dva broja nemaju zajedničkih delitelja, pa je

Napomena:

Nekada nije potrebno tražiti NZD, dovoljno je uočiti da li brojevi imaju makar jedan zajednički delilac.

Lako!

Bravo!

Pogledaj odgovor u lekciji.

Označi date tvrdnje kao tačne ili netačne.

Bravo!

Osvojeno je

+

Bravo!

Odgovor je tačan i osvojeno je 10 Bodovi
Prijavi se i sačuvaj svoje bodove.

Prijavi se

Zanimljivost

U ovom video snimku možeš videti primenu Euklidovog agoritma kog smo pominjali na početku lekcije. Primeti kako na kraju snimka, najmanji kvadrat (koja označava broj 2) potpuno ispunjava velike kvadrate, što ukazuje na to da je broj 2 najveći zajednički delilac brojeva 62 i 36.

Izvor: Wikimedia Commons

Naučili smo

Starogrčki matematičar Euklid opisao je postupak za određivanje NZD-a za dva proizvoljna prirodna broja i .
Najveći od svih zajedničkih delilaca prirodnih brojeva i naziva se najveći zajednički delilac tih brojeva.
Možemo odrediti NZD za više od dva broja.
Dva prirodna broja i koji nemaju zajedničkih prostih delilaca , predstavljaju uzajamno proste brojeve.
Nekada nije potrebno tražiti NZD, dovoljno je uočiti da li brojevi imaju makar jedan zajednički delilac.